ぎるばーとの日記

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超越関数?

 超越関数にちゃんとした(広く通じる)定義はあるのか、という話。

 なんとなく「代数的数係数の多項式で表せない関数」ぐらいに考えていたけれど、そうすると、
f(x) = \pi x \tag{1}
は超越関数ということに? それはちょっと違うような気が……。

 日本語版ウィキペディアから調べてみます。
超越関数 - Wikipedia

超越関数(ちょうえつかんすう、英: Transcendental Function)とは、係数が多項式であるような多項式で表せない関数である。より正確に言えば、1変数の関数が超越的であるのは、その変数について代数的独立性がある場合である。

 うーん。「係数が多項式であるような多項式」の意味が分かりません。どういう人向けの説明なんだろう?

 続いて英語版へ。
Transcendental function - Wikipedia, the free encyclopedia

A transcendental function is an analytic function that does not satisfy a polynomial equation, in contrast to an algebraic function. (The polynomials are sometimes required to have rational coefficients.) In other words, a transcendental function "transcends" algebra in that it cannot be expressed in terms of a finite sequence of the algebraic operations of addition, multiplication, and root extraction.

 こちらの方は明快! 超越関数とは多項式を満たさない解析関数で、時々その多項式有理数係数のものに限定される。
 この定義だと、(1)は文脈によって超越関数に分類してもそうでないとしてもよさそうです。

 次はWolfram Mathworld
Transcendental Function -- from Wolfram MathWorld

A function which is not an algebraic function. In other words, a function which "transcends," i.e., cannot be expressed in terms of, algebra. Examples of transcendental functions include the exponential function, the trigonometric functions, and the inverse functions of both.

 超越関数とは代数関数でない関数のことで、言い換えると、超越的な関数は代数的に表せない。……これは同語反復じゃないの??
 ちなみに代数関数は、
Algebraic Function -- from Wolfram MathWorld

An algebraic function is a function f(x) which satisfies p(x,f(x))=0, where p(x,y) is a polynomial in x and y with integer coefficients. Functions that can be constructed using only a finite number of elementary operations together with the inverses of functions capable of being so constructed are examples of algebraic functions. Nonalgebraic functions are called transcendental functions.

 代数関数f(x)は、整数係数の多項式p(x, y)によって、p(x, f(x)) = 0を満たす。
 整数係数は意味的に有理数係数と等価で、もともとの考えに近いです。そして、(1)がはっきり超越関数の側に分類されます。

 どうなんだろうね、これは……。