ぎるばーとのノート

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特別な場合と極限の場合 - 確率分布チートシート

数学・統計学

自サイト（HTML版）からの転載です。


特別な場合

正規分布の関連分布

指数分布とガンマ分布の関連分布

  • 指数分布で \lambda = 1の場合は、標準指数分布である。変換§指数分布#標準化も参照。〔標準指数分布〕
  • ガンマ分布で \alpha = 1の場合は、指数分布である。 \text{Gamma}(1,\ \beta)は \text{Exp}(\lambda = \beta)と等しい。〔ガンマ分布と指数分布〕
  • ガンマ分布で \beta = \frac{1}{2}の場合は、カイ2乗分布である。 \text{Gamma}\!\left(\alpha,\ \frac{1}{2}\right)は \chi^2(\nu = 2\alpha)と等しい。〔ガンマ分布とカイ2乗分布〕
  • カイ2乗分布で \nu = 2の場合は、指数分布である。 \chi^2(2)は \text{Exp}\!\left(\frac{1}{2}\right)と等しい。〔カイ2乗分布と指数分布〕

一様分布とベータ分布の関連分布

  • 一様分布で a = 0,\ b = 1の場合は、標準一様分布である。変換§一様分布#標準化も参照。〔標準一様分布〕
  • ベータ分布で \alpha = 1,\ \beta = 1の場合は、標準一様分布である。 \text{Beta}(1,\ 1)は \text{U}(0,\ 1)と等しい。〔ベータ分布と標準一様分布〕

コーシー分布の関連分布

  • コーシー分布で x_0 = 0,\ \gamma = 1の場合は、標準コーシー分布である。変換§コーシー分布#標準化も参照。〔標準コーシー分布〕
  • t分布で \nu = 1の場合は、標準コーシー分布である。 t(1)は \text{Cauchy}(0,\ 1)と等しい。〔t分布と標準コーシー分布〕

二項分布の関連分布

  • 二項分布で n = 1の場合は、ベルヌーイ分布である。 \text{B}(1,\ p)は \text{Bernoulli}(p)と等しい。〔二項分布とベルヌーイ分布〕
  • 超幾何分布で n = 1の場合は、ベルヌーイ分布である。 \text{Hyper}(1,\ N,\ K)は \text{Bernoulli}\!\left(p = \frac{K}{N}\right)と等しい。〔超幾何分布とベルヌーイ分布〕

負の二項分布の関連分布

  • 負の二項分布で r = 1の場合は、幾何分布である。 \text{NB}(1,\ p)は \text{Geom}(p)と等しい。〔負の二項分布と幾何分布〕

多変量正規分布の関連分布

多項分布の関連分布

  • 多項分布で n = 1の場合は、カテゴリ分布である。 \text{Mult}(1,\ \boldsymbol{p})は \text{Cat}(\boldsymbol{p})と等しい。〔多項分布とカテゴリ分布〕
  • 多変量超幾何分布で n = 1の場合は、カテゴリ分布である。 \text{Hyper}(1,\ N,\ \boldsymbol{K})は \text{Cat}\!\left(\boldsymbol{p} = \frac{\boldsymbol{K}}{N}\right)と等しい。〔多変量超幾何分布とカテゴリ分布〕

極限の場合

カイ2乗分布

  • X \sim \chi^2(\nu)で \nuが大きくなるにつれて、
    • Xの分布は \text{N}(\mu = \nu,\ \sigma^2 = 2\nu)に近づく。〔正規近似〕1
    • \frac{X - \nu}{\sqrt{2\nu}}の分布は \text{N}(0,\ 1)に近づく。〔標準正規近似〕
    • \sqrt{2X} - \sqrt{2\nu - 1}の分布は \text{N}(0,\ 1)に近づく。〔Fisherの近似〕2
      平方根変換によって分布の非対称性が改善されるため、速やかに正規分布に近づく。

t分布

  • X \sim t(\nu)で \nuが大きくなるにつれて、 Xの分布は \text{N}(0,\ 1)に近づく。〔正規近似〕3

F分布

  • X \sim F(\nu_1,\ \nu_2)で \nu_2が大きくなるにつれて、 \nu_1\,Xの分布は \chi^2(\nu_1)に近づく。〔カイ2乗近似〕3

ガンマ分布

  • X \sim \text{Gamma}(\alpha,\ \beta)で \alphaが大きくなるにつれて、
    • Xの分布は \text{N}\!\left(\mu = \frac{\alpha}{\beta},\ \sigma^2 = \frac{\alpha}{\beta^2}\right)に近づく。〔正規近似〕1
    • \frac{\beta X - \alpha}{\sqrt{\alpha}}の分布は \text{N}(0,\ 1)に近づく。〔標準正規近似〕

ベータ分布

  • X \sim \text{Beta}(\alpha,\ \beta)で \betaが大きくなるにつれて、 \beta Xの分布は \text{Gamma}(\alpha,\ 1)に近づく。〔ガンマ近似〕証明
  • X \sim \text{Beta}(\alpha,\ \alpha)で \alphaが大きくなるにつれて、 \sqrt{8\alpha}\left(X - \frac{1}{2}\right)の分布は \text{N}(0,\ 1)に近づく。〔正規近似〕証明

二項分布

  • X \sim \text{B}(n,\ p)で nが大きくなるにつれて、
    • Xの分布は \text{N}(\mu = np,\ \sigma^2 = npq)に近づく。ただし、 q = 1 - pである。〔正規近似〕1
    • \frac{X - np}{\sqrt{npq}}の分布は \text{N}(0,\ 1)に近づく。〔標準正規近似〕
  • X \sim \text{B}(n,\ p)で、 npが一定のもとで nが大きくなるにつれて、 Xの分布は \text{Poisson}(\lambda = np)に近づく。〔ポアソン近似〕3

ポアソン分布

  • X \sim \text{Poisson}(\lambda)で \lambdaが大きくなるにつれて、
    • Xの分布は \text{N}(\mu = \lambda,\ \sigma^2 = \lambda)に近づく。〔正規近似〕1
    • \frac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda}}の分布は \text{N}(0,\ 1)に近づく。〔標準正規近似〕

負の二項分布

  • X \sim \text{NB}(r,\ p)で rが大きくなるにつれて、
    • Xの分布は \text{N}\!\left(\mu = \frac{rq}{p},\ \sigma^2 = \frac{rq}{p^2}\right)に近づく。ただし、 q = 1 - pである。〔正規近似〕1
    • \frac{pX - rq}{\sqrt{rq}}の分布は \text{N}(0,\ 1)に近づく。〔標準正規近似〕
  • X \sim \text{NB}(r,\ p)で pが0に向かうにつれて、 pXの分布は \text{Gamma}(\alpha = r,\ 1)に近づく。〔ガンマ近似〕4
  • X \sim \text{NB}(r,\ p)で、 r\,(1 - p)が一定のもとで rが大きくなるにつれて、 Xの分布は \text{Poisson}(\lambda = r\,(1 - p))に近づく。〔ポアソン近似〕4

幾何分布

  • X \sim \text{Geom}(p)で pが0に向かうにつれて、 pXの分布は \text{Exp}(1)に近づく。〔指数近似〕証明

超幾何分布

  • X \sim \text{Hyper}(n,\ N,\ K)で、 \frac{K}{N}が一定のもとで Nが大きくなるにつれて、 Xの分布は \text{B}\!\left(n,\ p = \frac{K}{N}\right)に近づく。〔二項近似〕3

多項分布

  • \boldsymbol{X} \sim \text{Mult}(n,\ \boldsymbol{p})で nが大きくなるにつれて、 \boldsymbol{X}の分布は \text{N}(\boldsymbol{\mu} = \text{E}(\boldsymbol{X}),\ \boldsymbol{\Sigma} = \text{Var}(\boldsymbol{X}))に近づく。〔多変量正規近似〕5
    \boldsymbol{X} = (X_1, \ldots, X_m)の期待値と共分散行列は以下の式で表される。
期待値
\text{E}(\boldsymbol{X}) = n\boldsymbol{p}
共分散行列の対角成分
\text{Var}(X_i) = np_i\,(1 - p_i)
共分散行列の非対角成分
\text{Cov}(X_i, X_j) = -np_i\,p_j

多変量超幾何分布

  • \boldsymbol{X} \sim \text{Hyper}(n,\ N,\ \boldsymbol{K})で、 \frac{\boldsymbol{K}}{N}が一定のもとで Nが大きくなるにつれて、 \boldsymbol{X}の分布は \text{Mult}\!\left(n,\ \boldsymbol{p} = \frac{\boldsymbol{K}}{N}\right)に近づく。〔多項近似〕6


  1. 中心極限定理より。
  2. Statistical Methods for Research Workers (1925)が原典か。
  3. Leemis and McQueston. Univariate Distribution Relationships.
  4. John D. Cook. "Notes on the negative binomial distribution" (PDF).
  5. 多変量中心極限定理より。
  6. Kyle Siegrist. "The Multivariate Hypergeometric Distribution". Random.