ぎるばーとのノート

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表記とパラメータ化 - 確率分布チートシート

数学・統計学

自サイト（HTML版）からの転載です。


正規分布
Normal Distribution

表記 \text{N}(\mu,\ \sigma^2)
実現値 x \in \mathbf{R}
パラメータ 平均 \mu \in \mathbf{R}
分散 \sigma^2 \in (0, +\infty)		 平均 \mu \in \mathbf{R}
標準偏差 \sigma \in (0, +\infty)		 平均 \mu \in \mathbf{R}
精度 \tau \in (0, +\infty)
（変換） － \sigma = \sqrt{\sigma^2} \tau = \frac{1}{\sigma^2}

対数正規分布
Lognormal Distribution

表記 \text{Lognorm}(\mu,\ \sigma^2)
実現値 x \in (0, +\infty)
パラメータ 対数の平均 \mu \in \mathbf{R}
対数の分散 \sigma^2 \in (0, +\infty)

カイ2乗分布
Chi-Squared Distribution

表記 \chi^2(\nu)
実現値 x \in [0, +\infty)
パラメータ 自由度 \nu \in \{1, 2, \ldots\}

t分布
Student's t-Distribution

表記 t(\nu)
実現値 x \in \mathbf{R}
パラメータ 自由度 \nu \in \{1, 2, \ldots\}

F分布
F-Distribution

表記 F(\nu_1,\ \nu_2)
実現値 x \in [0, +\infty)
パラメータ （分子の）自由度 \nu_1 \in \{1, 2, \ldots\}
（分母の）自由度 \nu_2 \in \{1, 2, \ldots\}

指数分布
Exponential Distribution

表記 \text{Exp}(\lambda)
実現値 x \in [0, +\infty)
パラメータ レートパラメータ \lambda \in (0, +\infty) スケールパラメータ \beta \in (0, +\infty)
（変換） － \beta = \frac{1}{\lambda}

ガンマ分布
Gamma Distribution

表記 \text{Gamma}(\alpha,\ \beta)
実現値 x \in [0, +\infty)
パラメータ 形状パラメータ \alpha \in (0, +\infty)
レートパラメータ \beta \in (0, +\infty)		 形状パラメータ k \in (0, +\infty)
スケールパラメータ \theta \in (0, +\infty)
（変換） － k = \alpha
\theta = \frac{1}{\beta}

一様分布
Uniform Distribution

表記 \text{U}(a,\ b)
実現値 x \in [a, b]
パラメータ 下限 a \in \mathbf{R}
上限 b \in \mathbf{R}
a \lt bとする。

ベータ分布
Beta Distribution

表記 \text{Beta}(\alpha,\ \beta)
実現値 x \in [0, 1]
パラメータ 形状パラメータ α \in (0, +\infty)
形状パラメータ \beta \in (0, +\infty)

コーシー分布
Cauchy Distribution

表記 \text{Cauchy}(x_0,\ \gamma)
実現値 x \in \mathbf{R}
パラメータ 位置パラメータ x_0 \in \mathbf{R}
スケールパラメータ \gamma \in (0, +\infty)

パレート分布
Pareto Distribution

表記 \text{Pareto}(x_\mathrm{m},\ \alpha)
実現値 x \in [x_\mathrm{m}, +\infty)
パラメータ スケールパラメータ x_\mathrm{m} \in (0, +\infty)
形状パラメータ \alpha \in (0, +\infty)

二項分布
Binomial Distribution

表記 \text{B}(n,\ p)
実現値 k \in \{0, 1, \ldots, n\}
パラメータ 試行回数 n \in \{0, 1, \ldots\}
成功確率 p \in (0, 1)

ベルヌーイ分布
Bernoulli Distribution

表記 \text{Bernoulli}(p)
実現値 k \in \{0, 1\}
パラメータ 成功確率 p \in (0, 1)

ポアソン分布
Poisson Distribution

表記 \text{Poisson}(\lambda)
実現値 k \in \{0, 1, \ldots\}
パラメータ 平均 \lambda \in (0, +\infty)

負の二項分布
Negative Binomial Distribution

表記 \text{NB}(r,\ p) \text{NB}_\text{[number-of-trials]}(r,\ p)
実現値 k \in \{0, 1, \ldots\} k \in \{r, r + 1, \ldots\}
パラメータ 成功回数 r \in \{1, 2, \ldots\}
成功確率 p \in (0, 1)		 成功回数 r \in \{1, 2, \ldots\}
成功確率 p \in (0, 1)

幾何分布
Geometric Distribution

表記 \text{Geom}(p) \text{Geom}_\text{[number-of-trials]}(p)
実現値 k \in \{0, 1, \ldots\} k \in \{1, 2, \ldots\}
パラメータ 成功確率 p \in (0, 1) 成功確率 p \in (0, 1)

超幾何分布
Hypergeometric Distribution

表記 \text{Hyper}(n,\ N,\ K)
実現値 k \in \{0, 1, \ldots, n\}
k \leq Kの制約、 n - k \leq N - Kの制約にしたがう。
パラメータ 試行回数 n \in \{0, 1, \ldots, N\}
要素数 N \in \{0, 1, \ldots\}
成功要素数 K \in \{0, 1, \ldots, N\}		 試行回数 n \in \{0, 1, \ldots, K + M\}
成功要素数 K \in \{0, 1, \ldots\}
失敗要素数 M \in \{0, 1, \ldots\}
（変換） － M = N - K

多変量正規分布
Multivariate Normal Distribution

表記 \text{N}(\boldsymbol{\mu},\ \boldsymbol{\Sigma})
実現値 \boldsymbol{x} \in \mathbf{R}^m
パラメータ 平均 \boldsymbol{\mu} \in \mathbf{R}^m
共分散行列 \boldsymbol{\Sigma} \in \mathbf{R}^{(m, m)}
\boldsymbol{\Sigma}は正定値対称行列とする。		 平均 \boldsymbol{\mu} \in \mathbf{R}^m
精度行列 \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \in \mathbf{R}^{(m, m)}
\boldsymbol{\Sigma}^{-1}は正定値対称行列とする。

ディリクレ分布
Dirichlet Distribution

表記 \text{Dirichlet}(\boldsymbol{\alpha})
実現値 \boldsymbol{x} = (x_1, \ldots, x_m);\ x_i \in [0, 1]
\sum_i x_i = 1の制約にしたがう。
パラメータ 形状パラメータ \boldsymbol{\alpha} = (\alpha_1, \ldots, \alpha_m);\ \alpha_i \in (0, +\infty)

多項分布
Multinomial Distribution

表記 \text{Mult}(n,\ \boldsymbol{p})
実現値 \boldsymbol{k} = (k_1, \ldots, k_m);\ k_i \in \{0, 1, \ldots, n\}
\sum_i k_i = nの制約にしたがう。
パラメータ 試行回数 n \in \{0, 1, \ldots\}
カテゴリ確率 \boldsymbol{p} = (p_1, \ldots, p_m);\ p_i \in (0, 1)
\sum_i p_i = 1とする。

カテゴリ分布
Categorical Distribution

表記 \text{Cat}(\boldsymbol{p})
実現値 \boldsymbol{k} = (k_1, \ldots, k_m);\ k_i \in \{0, 1\}
\sum_i k_i = 1の制約にしたがう。
パラメータ カテゴリ確率 \boldsymbol{p} = (p_1, \ldots, p_m);\ p_i \in (0, 1)
\sum_i p_i = 1とする。

多変量超幾何分布
Multivariate Hypergeometric Distribution

表記 \text{Hyper}(n,\ N,\ \boldsymbol{K})
実現値 \boldsymbol{k} = (k_1, \ldots, k_m);\ k_i \in \{0, 1, \ldots, n\}
k_i \leq K_iの制約、 \sum_i k_i = nの制約にしたがう。
パラメータ 試行回数 n \in \{0, 1, \ldots, N\}
要素数 N \in \{0, 1, \ldots\}
カテゴリ要素数 \boldsymbol{K} = (K_1, \ldots, K_m);\ K_i \in \{0, 1, \ldots, N\}
\sum_i K_i = Nとする。