円周・球面上の一様分布

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$n - 1$ 次元球とは、 $\mathbf{R}^n$ 空間で中心点からのユークリッド距離が等しい点の集合である。1次元球は円、2次元球は普通の球である。内側の領域を含まないことを強調して、円を円周、球を球面とも呼ぶ。対して、 $n - 1$ 次元球によって囲まれる領域を $n$ 次元球体という。

円周・球面上の一様分布は、あらゆる方向の実現確率が等しい円周・球面上の確率分布である。分布が一様とは、部分領域に対する確率が領域の位置に無関係で、その大きさに比例することを表す。
円周上の一様分布の偏角についての確率密度関数は以下の式で表される。
- $f_\varTheta(\theta) = \frac{1}{2\pi}$
  単位円の弧の長さ $l = \theta$ より、積分値（確率）は円周上の長さに比例する。
球面上の一様分布の角座標（極角と方位角）についての確率密度関数は以下の式で表される。
- $f_{\varTheta, \varPhi}(\theta, \varphi) = \frac{\sin \theta}{4\pi}$
  単位球の面積要素 $dS = \sin \theta\,d\theta\,d\varphi$ より、積分値（確率）は球面上の面積に比例する。

$U$ が $\text{U}(0,\ 1)$ に、 $\boldsymbol{X}$ が $m - 1$ 次元の単位球面上の一様分布に独立にしたがうとき、 $U^{1/m}\,\boldsymbol{X}$ は $m$ 次元の単位球体内の一様分布にしたがう。〔球体内の一様分布〕¹
なお、 $U^{1/m}$ は $\text{Beta}(\alpha = m,\ 1)$ にしたがう。

が次元の単位球面上の一様分布にしたがうとき、
- ${X_1}^2 + \cdots + {X_m}^2 = 1$ がつねに成り立つ。〔成分の平方和（完全）〕
- ${X_1}^2 + \cdots + {X_l}^2$ は $\text{Beta}\!\left(\alpha = \frac{l}{2},\ \beta = \frac{m - l}{2}\right)$ にしたがう。〔成分の平方和（不完全）〕¹

が次元の単位球面上の一様分布にしたがうとき、はベータ型の分布にしたがう。〔周辺分布〕^証明
- $X_i$ は $\text{Beta}\!\left(\alpha = \frac{m - 1}{2},\ \beta = \frac{m - 1}{2},\ {-1},\ 1\right)$ にしたがう。※ $\text{Beta}(\alpha,\ \beta,\ a,\ b)$ は $[a, b]$ 上のベータ分布を表す。
- 言い換えれば、 $\frac{X_i + 1}{2}$ は $\text{Beta}\!\left(\alpha = \frac{m - 1}{2},\ \beta = \frac{m - 1}{2}\right)$ にしたがう。
$\boldsymbol{X} = (X_1, \ldots, X_m)$ が $m - 1$ 次元の単位球面上の一様分布にしたがうとき、 $(X_1, \ldots, X_{m - 2})$ は $m - 2$ 次元の単位球体内の一様分布にしたがう。〔成分消去法〕²

$X_1, \ldots, X_n$ が $\text{U}(0,\ 1)$ に独立にしたがう。
$\boldsymbol{X}$ が $\text{Dirichlet}(\boldsymbol{\alpha} = (1, \ldots, 1))$ にしたがう。
ベータ分布（対称）の正規近似より。
ベータ分布のガンマ近似より。

$\boldsymbol{X}$ が $\mathbf{R}^m$ 空間で球対称な分布にしたがうとき、 $\lVert\boldsymbol{X}\rVert$ を $\boldsymbol{X}$ のユークリッド長さとすると、 $\frac{\boldsymbol{X}}{\lVert\boldsymbol{X}\rVert}$ は単位球面上の一様分布にしたがう。〔正規化〕
$\boldsymbol{X} = (X_1, \ldots, X_m)$ が球対称な分布にしたがうとき、 $\frac{X_i}{X_j}$ （ただし、 $i \neq j$ ）は $\text{Cauchy}(0,\ 1)$ にしたがう。〔成分の比〕³
独立な標準正規確率変数の比は、 $\text{N}(\mathbf{0},\ \mathbf{I}_2)$ が円対称なことから、この特別な場合にあたる。